Spojitý nosník

Spojitým nosníkem rozumíme přímý nosník uložený na více než dvou podporách, z nichž je pevná (pevný kloub, dokonalé vetknutí) a ostatní posuvné (posuvný kloub). Na levém nebo pravém konci může mít nosník libovolnou vnější vazbu, případně i převislý konec. Nad jednoduchými vnitřními podporami probíhá nosník spojitě bez přerušení a mezi podporami neuvažujeme vnitřní klouby.

Část spojitého nosníku mezi dvěma sousedními podporami nazýváme pole, délku pole pak rozpětí. Průřez spojitého nosníku může být konstantní po celé délce nebo v jednotlivých polích, případně mohou být v místech podpory náběhy.

Pro řešení spojitých nosníku se nejvíce užívá těchto dvou metod:

• CLAPEYRONOVA METODA
• CROSSOVA METODA

Clapeyronova metoda - tří-momentová rovnice

Metoda tří-momentových rovnic je metoda silová, která volí za staticky neurčité veličiny Xi (i = 1, 2, ..., ns), spojitého nosníku, podporové momenty M1, M2, M3, ... ve vetknutí a nad vnitřními podporami. Základní staticky určitá soustava je tvořena soustavou prostých nosníků v počtu rovném počtu polí spojitého nosníku a o rozpětích rovných rozpětí polí spojitého nosníku.

Při stanovení deformačních podmínek vycházíme z ohybové čáry spojitého nosníku, kterou uvažujeme za zcela libovolného zatížení jako spojitou, tj. v žádném místě nemá zlom. U každé vnitřní podpory, např. b, spojitého nosníku musí platit:

Kde jsou tečny k ohybové čáře spojitého nosníku v průřezech těsně zleva a zprava podpory b.

Z těchto vztahů lze odvodit Clapeyronovu rovnici pro spojitý nosník konstantního průřezu po celé délce.

Clapeyronova rovnice:

Přičemž členy Nr a N'r+1 jsou pomocné zatěžovací členy, které závisejí na druhu zatížení, přehledně jsou shrnuty v tabulce:

Hodnot zatěžovacích členů

Podle uložení okrajů rozlišujeme:

• Kloubové uložení - sestavujeme tolik tří-momentových rovnic, kolik je vnitřních podpor
• Převislý konec - sestavujeme tolik rovnic, kolik je vnitřních podpor. Za ohybový moment M0, případně i poslední podpory, dosadíme hodnotu momentu podle deformace spodních vláken.
• Vetknutí - vetknutí nahradíme nulovým polem, které má nulové rozpětí a nulový zatěžovací člen. Původní krajní vetknutí se změní ve střední pole.

• Označíme podpory, pro které budeme psát rovnice
• Vypočítáme zatěžovací členy N a N'
• Sestavíme tří-momentové rovnice, dosadíme a vyřešíme; výsledkem jsou podporové momenty
• Nakreslíme zatěžovací schéma s rozvedením podporových momentů na koncové momenty
• Podle tohoto schéma vyřešíme dílčí a celkové reakce
• Upřesníme posouvající síly a vykreslíme jejich průběh
• Stanovíme nebezpečné průřezy v jednotlivých polích nosníku
• Vypočteme mezipodporové momentové extrémy
• Vykreslíme průběh momentů

Crossova metoda - metoda rozdělování momentů.

Předpoklady:

• Ve vnitřních podporách si představíme dokonalé vetknutí, pro tento vztah určíme hodnoty koncových momentů (1.stav).
• Ve druhém stavu uvolníme vetknutí a vlivem uvolnění vzniknou sekundární momenty. Obecně rozdíl momentů nad podporou nedá nulu a vzniká momentová diference ΔMr. Tuto diferenci musíme rozdělit do obou koncových momentů pomocí rozdělovacích čísel.
• praktické řešení - hodnoty koncových momentů zjistíme z tabulky (momenty ve vetknutí oboustranném a jednostranném vetknutého nosníku)
• Tabulka Podporových momentů jednostranně dokonale vetknutého nosník...
• Tabulka Podporových momentů oboustranně dokonale vetknutého nosníku...

Rozdělovací číslo - určíme je na základě poměrné tuhosti prutu (pro pruty konstantního průřezu)

následně pro podporu číslo 1: 

kde l0 je zvolené rozpětí, obvykle nejčastěji se opakující.

Vliv uložení konců:

• kloubové uložení - primérní momenty M10 řešíme pro případ jednostranně vetknutého nosníku. Tuhost jednostranně vetknutého prutu zohledňujeme 3/4 (třemi čtvrtinami). Do kloubu při rozdělování momentové diference nic nepřidáváme.
• převislý konec -účinek převislého konce nahradíme silou (s ohledem na posouvající síle Qk) a momentem Mk .V případě převislého konce primérní moment M10 stanovíme pro jednostranně vetknutý nosník a redukujeme polovinou momentu na konzole.
• vetknutí - primérní momenty stanovíme pro oboustranně vetknutý nosník. Při rozdělování momentové diference převádíme příslušnou část i do krajního vetknutí.

Postup při řešení spojitého nosníku:

• stanovíme tuhosti jednotlivých prutů
• vypočteme rozdělovací čísla v jednotlivých podporách; součet rozdělovacích čísel v podpoře musí být roven jedné
• nakreslíme schémata jednotlivých polí nosníku podle uložení a vypočteme primérní momenty
• nakreslíme rozdělovací schéma a vepíšeme do něj hodnoty (tuhosti, rozdělovací čísla, primérní momenty a momentové diference)
• provádíme rozdělování momentových diferencí až do zanedbatelných hodnot; výsledkem rozdělování jsou koncové momenty (sečteme všechny čísla v jednotlivých sloupcích)
• dále určíme:
  • z koncových momentů určíme podporové momenty
  • určíme dílčí reakce
  • vykreslíme průběh posouvajících sil
  • stanovíme polohu nebezpečných průřezů + určíme maximální mezipodporové momentové extrémů
  • vykreslíme průběh momentů

Řešení reakcí

Na spojitý nosník můžeme pohlížet jako na soustavu prostých nosníků, které jsou zatíženy jak vnějším zatížením tak koncovými momenty, které nahrazují spojitost prutu.

Koncové momenty M10 a M12 jsou stejně veliké, ale opačně orientované. Koncový moment je v absolutní hodnotě stejně veliký jako moment podporový.

Stanovení dílčích a celkových reakcí

Dílčí reakce potřebujeme pro stanovení a vykreslení průběhu posouvajících sil. Celkové reakce potřebujeme pro návrh podpory nosníku.

Stanovení dílčích reakcí:

• od zatížení: je shodné jako u řešení reakcí na prostém nosníku
• od koncového momentu se spočte podle následujícího (pro první pole):

• zjednodušené pravidlo pro stanovení momentové složky dílčí reakce (moment M01, M10 ..): jestliže koncový moment dané reakci přitěžuje dosadíme ho do zlomku se znaménkem plus (+), jestliže koncový moment dané reakci odlehčuje, dosadíme ho se znaménkem mínus (-).
• výsledná dílčí reakce se rovná součtu reakce od zatížení s reakcí od koncového momentu

Celková reakce v podpoře se rovná součtu dílčích reakcí, které jsme spočetli výše.

◄◄◄ Zpět na stavební mechanika obsah

Upozornění : Obsah převzat ze stránky pozemní-stavitelství.wz.cz. Stav k roku 2000, článek bude aktualizován podle soudobých norem a předpisů platných v ČR.